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已知函数f(x)=
px2+2
x-q
,对定义域中的所有x都满足f(x)+f(-x)=0,f(2)=5
(1)求实数p,q的值;
(2)判断函数f(x)在[1,+∞)上的单调性,并证明.
(1)∵函数f(x)=
px2+2
x-q
,对定义域中的所有x都满足f(x)+f(-x)=0,f(2)=5,
∴f(2)=
4p+2
2-q
=5

即4p+2=10-5q,
∴4p+5q=8,
由f(x)+f(-x)=0得
px2+2
x-q
=-
px2+2
-x-q
=
px2+2
x+q

∴-q=q,解得q=0,
∴p=2.
(2)∵p=2,q=0,
∴函数f(x)=
px2+2
x-q
=
2x2+2
x
=2x+
2
x

f(x)在[1,+∞)上的单调递增.
证明:设x2>x1≥1,
则f(x2)-f(x1)=2(x2-x1)+
2(x1-x2)
x1x2
=2(x2-x1)•
x1x2-1
x1x2

∵x2>x1≥1,
∴x2-x1>0,x2x1>1,
∴f(x2)-f(x1)>0,
即f(x2)>f(x1),
∴函数f(x)在[1,+∞)上的单调递增.
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1
2
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5
2

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1
2
x2-
5
2
-g(x)
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1
ex
-
2
ex

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x
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