Question

以下命题：
①△ABC中，若a，b，c成等比，则∠B∈（0，

π

3

]；  
②数列{a_n}的前n项为S_n，若a_n+1=2S_n（n∈N^*），则{a_n}为等比数列；  
③一个几何体的主视图和左视图为全等的两个等腰Rt△，则其俯视图一定不能为等边三角形；  
④腰长为1的等腰Rt△绕其斜边旋转一周所得的几何体的表面积为（

2

+

1

2

）π．
其中正确的命题为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：等差数列与等比数列,解三角形,空间位置关系与距离

分析：①由等比数列的性质和余弦定理，基本不等式即可求出B的范围；
②由数列的通项和求和之间的关系，即可判断，注意n从2开始；
③画出三棱锥，若其俯视图为等边三角形，推出左视图与主视图不全等，即可判断；
④画出腰长为1的等腰Rt△绕其斜边旋转一周所得的几何体如图，两个圆锥倒扣在一起，求出表面积．

解答： 解：①△ABC中，若a，b，c成等比，则b²=ac，由cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

=

a2+c2

2ac

-

1

2

≥

2ac

2ac

-

1

2

=

1

2

，由B为三角形的内角，
得0＜B≤

π

3

，故①对；
②数列{a_n}的前n项为S_n，若a_n+1=2S_n（n∈N^*），则a₂=2S₁=2a₁，
将n换为n-1，得，a_n=2S_n-1，有a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n=2，3，…），
故②错；
③一个几何体的主视图和左视图为全等的两个等腰Rt△，
若其俯视图为等边三角形，如图，AB⊥平面BCD，且△BCD是等边△，
则左视图与主视图不全等，矛盾，故③对；
④腰长为1的等腰Rt△绕其斜边旋转一周所得的几何体如图，
两个圆锥倒扣在一起，高为

2

2

，底面半径为

2

2

，
则表面积为2×π×

2

2

×1=

2

π，故④错．
故答案为：①③

点评：本题考查解直角三角形的余弦定理和基本不等式的运用，考查数列的通项和求和之间的关系，考查空间几何体的三视图和旋转体的表面积，属于中档题．