Question

已知z为虚数，且|2z+15|=．
（1）求|z|；（2）设u=（3-i）z，若u在复平面上的对应点在第二、四象限的角平分线上，求复数z；（3）若z²+2为实数，且z恰好为实系数方程x²+px+q=0的两根，试写出此方程．

Answer 1

解：（1）设z=m+ni，且 m、n∈R，n≠0，则有|2m+15+2yi|=|x+10+yi|，
∴（2m+15）²+4n²=3（m+10）²+3n²，化简可得 m²+n²=75．
∴|z|==5．
（2）∵u=（3-i）z，若u在复平面上的对应点在第二、四象限的角平分线上，
∴u=（3m+n）+（3n-m）i，3m+n+3n-m=0，∴．
∴ 或 ．∴z=2-i，z=-2+i．
（3）∵z² +2 =m²-n²+2m+2n（m-1）i 为实数，∴2n（m-1）=0，由n≠0可得 m=1．
又m²+n²=75，∴n=±．
∴z=1+i，或 z=1-i．
由 z恰好为实系数方程x²+px+q=0的两根，利用根与系数的关系可得-p=1+i+1-i=2，
q=（1+i ）（1-i ）=75，故要求的方程为：x²-2x+75=0．
分析：（1）设z=m+ni，且 m、n∈R，n≠0，由题意可得|2m+15+2yi|=|x+10+yi|，化简可得m²+n²=75，
从而得到|z|的值．
（2）由题意可得 u=（3m+n）+（3n-m）i，3m+n+3n-m=0，故 ，解得m 和n的值，即得复数z．
（3）由 z² +2 =m²-n²+2m+2n（m-1）i 为实数，得2n（m-1）=0，m=1．再由m²+n²=75，求出
n的值，可得z的值，由根与系数的关系求得p和q的值，即可写出方程．
点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，复数的代数表示法及其几何意义，求出m 和n的值，是解题的关键．