Question

已知⊙O：x2＋y2＝1和定点A(2，1)，由⊙O外一点P(a，b)向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|＝|PA|.(Ⅰ)求实数a，b间满足的等量关系；(Ⅱ)求线段PQ长的最小值；(Ⅲ)若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程.

Answer 1

(Ⅰ)  2a＋b－3＝0  (Ⅱ) 255.  （Ⅲ）(x－65)2＋(y－35)2＝(355－1)2

解析:

（1）连OP，∵Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2＝|OP|2－|OQ|2.

又由已知|PQ|＝|PA|，故|PQ|2＝|PA|2，即a2＋b2－12＝(a－2)2＋(b－1)2，

化简得实数a、b间满足的等量关系为：2a＋b－3＝0.

(Ⅱ)由2a＋b－3＝0，得b＝－2a＋3.∴|PQ|＝a2＋b2－1＝a2＋(－2a＋3)2－1＝5a2－12a＋8＝5(a－65)2＋45，故当a＝65时，|PQ|min＝255，即线段PQ长的最小值为255.

(Ⅲ)设⊙P的半径为R，OP设⊙O有公共点，⊙O的半径为1，∴|R－1|≤|OP|≤R＋1，R≥|OP|－1，且R≤|OP|＋1.而|OP|＝a2＋b2＝a2＋(－2a＋3)2＝5(a－65)2＋95，故当a＝65时，|PQ|min＝355，此时b＝－2a＋3＝35，R min＝355－1，得半径取最小值⊙P的方程为(x－65)2＋(y－35)2＝(355－1)2.