Question

已知曲线C：（θ为参数），若A、B是曲线C上关于坐标轴不对称的任意两点．
（1）求AB的垂直平分线l在x轴上截距的取值范围；
（2）设过点M（1，0）的直线l是曲线C上A，B两点连线的垂直平分线，求l的斜率k的取值范围．

Answer 1

解：（1）曲线C即：+y²=1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x₀，y₀），
则有 +y₁²①，+y₂²=1 ②，由①-②可得+y₁²-y₂²=0．
故AB的斜率k_AB=．（2分）
l的方程y-y₀=（x-x₀），令y=0，x=x₀．（4分）
∵-2＜x₀＜2，∴x∈（-，），即l在x轴上截距的取值范围为 （-，）．（6分）
（2）设直线l的方程为y=k（x-1），AB的中点M（x₀，y₀）．由（1）可知k_AB=-，∴k=．
∵M在直线l上，∴y₀=（x₀-1）．∵y₀≠0，∴x₀=．（8分）
∵M（x₀，y₀）在椭圆内部．∴+y₀²＜1，即+y₀²＜1．（10分）
故有-＜y₀＜且y₀≠0． 再由 k===3y₀．
可得-＜k＜且k≠0，即l的斜率k的取值范围为{k|-＜k＜且k≠0}．（12分）
分析：（1）曲线C即：+y²=1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x₀，y₀），把A、B两点的坐标分别代入椭圆的方程，相减求出AB的斜率，用点斜式求得l的方程，从而求得l在x轴上截距x=x₀，再由-2＜x₀＜2求出截距的范围．
（2）设直线l的方程为y=k（x-1），AB的中点M（x₀，y₀），求出k=，把点M的坐标代入l的方程可得 x₀=．由 M（x₀，y₀）在椭圆内部可得+y₀²＜1，再由-＜y₀＜且y₀≠0 以及 k==3y₀，求得k的取值范围．
点评：本题主要考查椭圆的参数方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，属于中档题．