Question

14．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=1+a•${（\frac{1}{3}）^x}$+${（\frac{1}{9}）^x}$，
（1）当a=-$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
（3）g（x）=$\frac{1-m•{x}^{2}}{1+m•{x}^{2}}$，m＞-1，g（x）在[0，1]上的上界为T（m），求T（m）的范围．

Answer 1

分析 （1）把a=-$\frac{1}{2}$代入函数的表达式，得出函数的单调区间，结合有界函数的定义进行判断；
（2）由题意知，|f（x）|≤4对x∈[0，+∞）恒成立．令t=$（\frac{1}{3}）^{x}$，则-（t+$\frac{5}{t}$）≤a≤$\frac{3}{t}$-t对t∈（0，1]恒成立，设s（t）=-（t+$\frac{5}{t}$），h（t）=$\frac{3}{t}$-t，求出单调区间，得到函数的最值，从而求出a的取值范围；
（3）利用分离常数把函数g（x）变形，分类求出函数g（x）的值域得答案．

解答 解：（1）当a=-$\frac{1}{2}$时，f（x）=1+$\frac{1}{2}$•${（\frac{1}{3}）^x}$+${（\frac{1}{9}）^x}$，令t=$（\frac{1}{3}）^{x}$，
∵x＜0，∴t＞1，y=1-$\frac{1}{2}$t+t²，
函数y=1-$\frac{1}{2}$t+t²在（1，+∞）上单调递增，
∴y＞$\frac{3}{2}$，即f（x）在（-∞，1）的值域为（$\frac{3}{2}$，+∞），
故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，
∴函数f（x）在（-∞，0）上不是有界函数；   
（2）由题意知，|f（x）|≤4对x∈[0，+∞）恒成立．
即：-4≤f（x）≤4，令t=$（\frac{1}{3}）^{x}$，
∵x≥0，∴t∈（0，1]，
∴-（t+$\frac{5}{t}$）≤a≤$\frac{3}{t}$-t对t∈（0，1]恒成立，
∴$[-（t+\frac{5}{t}）]_{max}≤a≤（\frac{3}{t}-t）_{min}$，
设s（t）=-（t+$\frac{5}{t}$），h（t）=$\frac{3}{t}-t$，由t∈（0，1]，
由于s（t）在t∈（0，1]上递增，h（t）在t∈（0，1]上递减，
s（t）在t∈（0，1]上的最大值为s（1）=-6，
h（t）在[1，+∞）上的最小值为h（1）=2．
∴实数a的取值范围为[-6，2]；
（3）当x=0时，g（x）=1；
当x≠0时，g（x）=$\frac{1-m•{x}^{2}}{1+m•{x}^{2}}$=$\frac{1+m{x}^{2}-2m{x}^{2}}{1+m{x}^{2}}=1-\frac{2m{x}^{2}}{1+m{x}^{2}}$=$1-\frac{2m}{\frac{1}{{x}^{2}}+m}$（0＜x≤1），
∵0＜x≤1，∴0≤x²≤1，则$\frac{1}{{x}^{2}}≥1$，由m＞-1，
∴$\frac{1}{{x}^{2}}+m＞0$，
则当-1＜m≤0时，0＜$\frac{1}{{x}^{2}}+m$≤1，$\frac{1}{\frac{1}{{x}^{2}}+m}≥1$，1-$\frac{2m}{\frac{1}{{x}^{2}}+m}$≥1+2m，g（x）在[0，1]上无上界；
当m＞0时，$\frac{1}{{x}^{2}}+m$＞1，0＜$\frac{1}{\frac{1}{{x}^{2}}+m}$＜1，1-2m＜1-$\frac{2m}{\frac{1}{{x}^{2}}+m}$＜1，
∴T（m）在[0，1]上的上界T（m）≥1．
综上，当-1＜m≤0时，g（x）在[0，1]上无上界；m＞0时，T（m）在[0，1]上的上界T（m）≥1．

点评 本题是新定义题，考查了函数的值域问题及函数的单调性，函数的最值问题，体现了数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，综合性较强．