Question

6．已知函数f（x）的定义域为D，若对于任意的x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数．设f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：
（1）f（0）=0；（2）f（${\frac{x}{3}}$）=$\frac{1}{2}$f（x）；
（3）f（1-x）=1-f（x）．
则f（1）+f（${\frac{1}{2}}$）+f（${\frac{1}{3}}$）+f（${\frac{1}{6}}$）+f（${\frac{1}{7}}$）+f（${\frac{1}{8}}$）=$\frac{11}{4}$．

Answer 1

分析 由f（1-x）=1-f（x），f（0）=0，令x=$\frac{1}{2}$可求得f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$；再通过f（${\frac{x}{3}}$）=$\frac{1}{2}$f（x），利用赋值法可分别求得f（${\frac{1}{3}}$）、f（${\frac{1}{6}}$）、f（${\frac{1}{7}}$）、f（${\frac{1}{8}}$）的值，从而可得f（1）+f（${\frac{1}{2}}$）+f（${\frac{1}{3}}$）+f（${\frac{1}{6}}$）+f（${\frac{1}{7}}$）+f（${\frac{1}{8}}$）的值．

解答 解：∵f（1-x）=1-f（x），f（0）=0，
∴f（1-1）=1-f（1）=0，即f（1）=1；
f（1-$\frac{1}{2}$）=1-f（$\frac{1}{2}$），整理得：f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$；
又f（${\frac{x}{3}}$）=$\frac{1}{2}$f（x），
令x=1，则f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{2}$；
令x=$\frac{1}{2}$，则f（$\frac{1}{6}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$；
令x=$\frac{1}{3}$，则f（$\frac{\frac{1}{3}}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{4}$，即f（$\frac{1}{9}$）=$\frac{1}{4}$；
∵$\frac{1}{9}$＜$\frac{1}{8}$＜$\frac{1}{7}$＜$\frac{1}{6}$，对于任意的x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），
∴f（${\frac{1}{7}}$）=f（${\frac{1}{8}}$）=$\frac{1}{4}$，
则f（1）+f（${\frac{1}{2}}$）+f（${\frac{1}{3}}$）+f（${\frac{1}{6}}$）+f（${\frac{1}{7}}$）+f（${\frac{1}{8}}$）=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$×3=$\frac{11}{4}$．
故答案为：$\frac{11}{4}$．

点评 本题考查抽象函数及其应用，突出考查整体思想与赋值法的综合运用，属于中档题．