Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-x，x∈[{-1，0}）\\ \frac{1-f（x-1）}{f（x-1）}，x∈[{0，1}）\end{array}\right.$，若方程f（x）-kx+k=0 有二个不同的实数根，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $（{-1，-\frac{1}{2}}]$
• B． $[{-\frac{1}{2}，0}）$
• C． [1，+∞）
• D． $[{-\frac{1}{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 先化简函数的解析式，结合题意可得函数f（x）的图象和直线y=k（x-1）有2个不同的交点，数形结合求得k的范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-x，x∈[{-1，0}）\\ \frac{1-f（x-1）}{f（x-1）}，x∈[{0，1}）\end{array}\right.$，
∴当x∈[0，1）时，x-1∈[-1，0），f（x-1）=-（x-1）=1-x，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x∈[-1，0）}\\{\frac{x}{1-x}，x∈[0，1）}\end{array}\right.$．
∵方程f（x）-kx+k=0 有二个不同的实数根，
故函数f（x）的图象（图中黑色曲线）和直线y=kx-k（图中红色曲线）有2个不同的交点．
如图所示：
由于直线AB的斜率为$\frac{1-0}{-1-1}$=-$\frac{1}{2}$，故直线y=kx-k的斜率k满足：0＞k≥-$\frac{1}{2}$，
故选：B．

点评 本题主要考查了方程根的存在性以及个数判断，体现了数形结合、转化的数学思想，函数的图象，属于中档题．