Question

8．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E是棱CD中点，则直线A₁E与直线BC₁所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． 0

Answer 1

分析 令正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，建立空间坐标系，利用向量法，可得直线A₁E与直线BC₁所成角的余弦值．

解答 解：令正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
建立如图所示的坐标系，
则$\overrightarrow{{BC}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（1，-$\frac{1}{2}$，-1），
则直线A₁E与直线BC₁所成角θ的余弦值为：
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{BC}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}E}|}{\left|\overrightarrow{{BC}_{1}}\right|•\left|\overrightarrow{{A}_{1}E}\right|}$=0，
故选：D．

点评 本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，异面直线及其所成的角，难度中档．