Question

7．F是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦点，A（1，1）为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点．则|PA|+|PF|的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 4-$\sqrt{5}$
• D． 4+$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由题意方程求出两个焦点的坐标，利用椭圆定义把|PA|+|PF|转化为2a-（|PF′|-|PA|），数形结合得答案．

解答 解：由$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，得a²=4，b²=3，
∴$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=1$，则椭圆右焦点F（1，0），
左焦点F′（-1，0），
如图，由椭圆定义得|PF|+|PF′|=2a=4，则|PF|=4-|PF′|，
∴|PA|+|PF|=|PA|+4-|PF′|=4-（|PF′|-|PA|），
连接F′A并延长交椭圆于点P，此时|PF′|-|PA|最大，
最大值为|F′A|=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（0-1）^{2}}=\sqrt{5}$，
∴|PA|+|PF|的最小值为4-$\sqrt{5}$．
故选：C．

点评 本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查了椭圆中最值的求法，利用椭圆定义转化是关键，是中档题．