解:(Ⅰ)令x=y=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0.…2分
(Ⅱ)令y=-x,代入①式,得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0
,则有
0=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,
所以f(x)是奇函数. ………………………………6分
(Ⅲ) 因为f(x)在R上是增函数,又由(Ⅱ)知f(x)是奇函数.
f(
)<-f(3
-9
-2)=f(-3
+9
+2),
<-3
+9
+2,
3
-(1+k)
+2>0对任意x∈R成立. …… …………………8分
令t=3
>0,问题等价于t
-(1+k)t+2>0对任意t>0恒成立.
,其对称轴为
………………10
分
解得:
综上所述,当
时,f(
)+f(3
-9
-2)<0对任意x∈R恒成立.