Question

如图，在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足.

（1）求证：；
（2）在棱上确定一点，使、、、四点共面，并求此时的长；
（3）求平面与平面所成二面角的余弦值.

Answer 1

（1）详见解析；（2）；（3）.

试题分析：本题有两种方法，第一种是传统方法：（1）连接，先由正方体的性质得到，以及平面，从而得到，利用直线与平面垂直的判定定理可以得到平面，于是得到；（2）假设四点、、、四点共面，利用平面与平面平行的性质定理得到，，于是得到四边形为平行四边形，从而得到的长度，再结合勾股定理得到的长度，最终得到的长度；（3）先延长、交于点，连接，找出由平面与平面所形成的二面角的棱，借助平面，从点在平面内作，连接，利用三垂线法得到为平面与平面所形成的二面角的的平面角，然后在直角中计算的余弦值；
第二种方法是空间向量法：（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，确定与的坐标，利用来证明，进而证明
；（2）先利用平面与平面平行的性质定理得到，然后利用空间向量共线求出点的坐标，进而求出的长度；（3）先求出平面和平面的法向量，结合图形得到由平面和平面所形成的二面角为锐角，最后再利用两个平面的法向量的夹角来进行计算.
试题解析：（1）如下图所示，连接，

由于为正方体，所以四边形为正方形，所以，
且平面，，
，平面，
平面，；
（2）如下图所示，假设、、、四点共面，则、、、四点确定平面，

由于为正方体，所以平面平面，
平面平面，平面平面，
由平面与平面平行的判定定理得，
同理可得，因此四边形为平行四边形，，
在中，，，，
由勾股定理得，
在直角梯形中，下底，直角腰，斜腰，
由勾股定理可得，
结合图形可知，解得；
（3）延长、，设，连接，则是平面与平面的交线，
过点作，垂足为点，连接，
因为，，所以平面，
因为平面，所以，
所以为平面与平面所成二面角的平面角，
因为，即，因此，

在中，，，
所以，
即，
因为，
所以，
所以，
所以，故平面与平面所成二面角的余弦值为.
空间向量法：
（1）证明：以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，

所以，，因为，
所以，所以；
（2）设，因为平面平面，
平面平面，平面平面，所以，
所以存在实数，使得，
因为，，所以，
所以，，所以，
故当时，、、、四点共面；
（3）由（1）知，，
设是平面的法向量，
则，即，
取，则，，所以是平面的一个法向量，
而是平面的一个法向量，
设平面与平面所成的二面角为，
则，
故平面与平面所成二面角的余弦值为；
第（1）、（2）问用推理论证法，第（3）问用空间向量法，
（1）、（2）给分同推理论证法.
（3）以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，
则，，
设是平面的法向量，

则，即，
取，则，，所以是平面的一个法向量，
而是平面的一个法向量，
设平面与平面所成的二面角为，
则，
故平面与平面所成二面角的余弦值为；