Question

10．已知函数f（x）=ax³+|x-a|，a∈R．
（Ⅰ）若a=-1，求函数y=f（x）在[0，+∞）的单调区间；
（Ⅱ）方程f（x）=x⁴有3个不同的实根，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a＞0时，若对于任意的x₁∈[a，a+1]，都存在x₂∈[a+1，+∞]，使得f（x₁）f（x₂）=1024，求满足条件的正整数a的取值的集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导，根据导数和函数单调性的关系即可求出单调区间；
（Ⅱ）若f（x）=x⁴，此方程等价于x=a或$\left\{\begin{array}{l}{x＞a}\\{x=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜a}\\{x=-1}\end{array}\right.$，分类讨论，即可讨论方程f（x）=x⁴的实数解的个数，即可得到答案
（Ⅲ）确定函数f（x）在（a，+∞）上是增函数，且f（x）＞f（a）=a⁴＞0，对任意的x₁∈[a，a+2]，都存在x₂∈[a+2，+∞），使得f（x₁）f（x₂）=1024，所以[$\frac{1024}{f（a+1）}$，$\frac{1024}{f（a）}$]⊆[f（a+1），+∞），即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）当a=-1，x∈[0，+∞）时，f（x）=-x³+x+1，从而f′（x）=-3x²+1=-3（x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）（x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
令f′（x）=0，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
当f′（x）＜0时，即x＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，函数单调递减，
当f′（x）＞0时，即0＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，函数单调递增，
所以f（x）在（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）上为单调递增，在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）上单调递减；
（Ⅱ）由f（x）=x⁴，即ax³+|x-a|=x⁴，
所以x⁴-ax³=|x-a|，从而x³（x-a）=|x-a|，
此方程等价于x=a或$\left\{\begin{array}{l}{x＞a}\\{x=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜a}\\{x=-1}\end{array}\right.$   
所以当a≥1时，方程有两个不同的解a，-1，
当-1＜a＜1时，方程有三个不同的解a，-1，1，
当a≤-1时，方程有两个不同的解a，1，
综上，当-1＜a＜1时，方程有三个不同的解a，-1，1；
（Ⅲ）当a＞0，x∈（a，+∞）时，f（x）=ax³+x-a，f′（x）=3ax²+1＞0，
所以函数f（x）在（a，+∞）上是增函数，且f（x）＞f（a）=a⁴＞0．
所以当x∈[a，a+1]，f（x）∈[a⁴，f（a+1）]，
当x∈[a+1，+∞）时，f（x）∈[f（a+1），+∞），
所以$\frac{1024}{f（x）}$∈（0，$\frac{1024}{f（a+1）}$]
因为对任意的x₁∈[a，a+1]，都存在x₂∈[a+1，+∞），使得f（x₁）f（x₂）=1024，
从而$\frac{1024}{f（a+1）}$≥f（a+1），
所以f ²（a+1）≤1024，即f（a+1）≤32，也即a（a+1）³+1≤32，
因为g（a）=a（a+1）³+1为（0，+∞）单调递增，
且g（1）=9≤32满足，而g（2）=55≥32，不满足题意，
所以a≥2时，均不满足题意，
所以满足条件的正整数a的取值的集合为{1}．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．