Question

9．如图，正方体 A BCD-A₁ B₁C₁D₁中，E为DD₁的中点．
（1）证明：BD₁⊥AC；
（2）证明：BD₁∥平面 ACE．

Answer 1

分析 （1）连结 BD，证明AC⊥BD，AC⊥DD₁，推出AC⊥平面 BDD₁，然后证明BD₁⊥AC．
（2）设AC∩BD=O，连结OE，证明O E∥BD₁，然后BD₁∥平面ACE．

解答 证明：（1）连结 BD，∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∵DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥DD₁
∵BD∩DD₁=D，BD?平面BDD₁，DD₁?平面BDD₁
∴AC⊥平面 BDD₁
∵BD₁?平面BDD₁
∴BD₁⊥AC．
（2）设 AC∩BD=O，连结OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴O是BD的中点∵E为DD₁的中点，
∴OE∥BD₁
∵OE?平面ACE，BD₁?平面ACE，
∴BD₁∥平面ACE．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．