Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知角A，B，C成等差数列．
（1）若sinA=2-

3

cosA，求角C；
（2）若△ABC的面积为

3 3

2

，且sin2A+sin2C=

13

7

sin2B，求a，b，c的值．

Answer 1

分析：（1）由角A，B，C成等差数列可求得B，利用两角和与差的正弦函数可将sinA=2-

3

cosA转化为sin（A+

π

3

）=1，从而可求得角A，继而可得角C的值；
（2）由△ABC的面积为

3 3

2

，可求得ac，再由正弦定理可求得b，从而有a²+c²=13，解此二方程组即可．

解答：解：（1）∵角A，B，C成等差数列，
∴B=

π

3

，又sinA=2-

3

cosA?sinA+

3

cosA=2?sin（A+

π

3

）=1，
∵0＜A＜

2π

3

?

π

3

＜A+

π

3

＜π，
∴A+

π

3

=

π

2

⇒A=

π

6

⇒C=

π

2

；
（2）∵△ABC的面积为

3 3

2

⇒

1

2

acsinB=

3 3

2

⇒ac=6，
sin²A+sin²C=

13

7

sin²B⇒a²+c²=

13

7

b²
⇒b²=7
⇒b=

7

⇒a²+c²=13，
解之得：a=2，c=3，b=

7

或a=3，c=2，b=

7

．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查正弦定理与解方程组的能力，属于中档题．