Question

已知函数f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．
（1）求b；
（2）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围．
（3）讨论函数的零点个数？（提示：）

Answer 1

解：（1）由f（-x）=（-x）²+bsin（-x）-2=f（x）得b=0．…
（2）g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x²+2x+alnx所以…
依题意，或在（0，1）上恒成立…
即2x²+2x+a≥0或2x²+2x+a≤0在（0，1）上恒成立
由在（0，1）上恒成立，可知a≥0．
由在（0，1）上恒成立，
可知a≤-4，所以a≥0或a≤-4．…
（3），令．
所以…
令y'=0，则x₁=-1，x₂=0，x₃=1，列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
y'	+	0	-	0	+	0	-
h（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值1	单调递增	极大值	单调递减

所以当时，函数无零点；
当k＜1或时，函数有两个零点；当k=1时，函数有三个零点．当时，函数有四个零点．…
分析：（1）根据f（-x）=f（x）建立等式关系，即可求出b的值；
（2）g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调函数，则在（0，1）上恒成立，然后将a分离出来，研究不等式另一侧的最值即可求出a的范围；
（3）令，研究该函数的单调性和极值，结合图形可判断函数的零点个数．
点评：本题主要考查了偶函数的性质，以及函数的单调性和极值等有关基础知识，同时考查了恒成立问题，属于中档题．