Question

在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，AB中点为E，点F，G分别在线段AD，BC上随机运动，则∠FEG为锐角的概率是

 

．

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：利用两角和的正切公式，利用线性规划，以及几何概型的概率公式即可得到结论．

解答： 解：设FA=x，GB=y，
则0≤x≤3，0≤y≤3，平面区域{（x，y）|0≤x≤3，0≤y≤3}对应的区域是正方形边长为3，面积S=9．
则tan∠FEA=

AF

AE

=x，tan∠GEB=

BG

BE

=y，
则tan（∠GEB+∠FEA）=

tan∠FEA+tan∠GEB

1-tan∠FEA•tan∠GEB

=

x+y

1-xy

，
若∠FEG为锐角，则等价为∠GEB+∠FEA是钝角，
即tan（∠GEB+∠FEA）=

x+y

1-xy

＜0，
即1-xy＜0，即y＞

1

x

，
作出对应的平面区域如图：
当y=3时，由

1

x

=3，解得x=

1

3

，A（

1

3

，3），
当x=3时，y=

1

3

，即B（3，

1

3

），
则矩形ODAE的面积S=3×

1

3

=1，
曲边四边形ACFB的面积S=

∫

3 1 3

1

x

dx═lnx|

3 1 3

=ln3-ln

1

3

=2ln3，
∴阴影部分的面积S=9-1-2ln3=8-2ln3，
（阴影部分的面积也可以这样求S=

∫

3 1 3

(3-

1

x

)dx=(3x-lnx)

|

3 1 3

=8-2ln3，）
∴根据几何概型的概率公式可得∠FEG为锐角的概率

8-2ln3

9

，
故答案为：

8-2ln3

9

点评：本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件将∠FEG为锐角进行转化，利用积分求出对应区域的面积是解决本题的关键，综合性较强，涉及的知识点较多．