Question

对于△ABC，下列正确命题的序号是

 

 （把所有正确的命题序号都填上）
①若sin2A=sin2B，则△ABC一定为等腰三角形；
②在△ABC中，若∠A=120°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积是唯一确定的值；
③若sin²A+sin²B+cos²C＜1，则△ABC一定为钝角三角形．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：①由sin2A=sin2B，得到2A=2B或2A+2B=π，确定出三角形形状，即可做出判断；
②由A的度数求出cosA的值，设AC=x，再由AB，BC及cosA的值，利用余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AC的长，由A的度数求出sinA的值，再由AB及AC的长，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积；
③已知不等式变形后利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示确定出C为钝角，即可做出判断．

解答： 解：①由sin2A=sin2B，得到2A=2B或2A+2B=π，
∴A=B或A+B=

π

2

，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形，本选项错误；
②设AC=x，
由余弦定理得：7²=5²+x²-2•5•x•cos120°，
化简得：x²+5x-24=0，解得：x=3，
∴AC=3，
∵∠A=120°，AB=5，AC=3，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC•sinA=

15 3

4

，
则△ABC的面积是唯一确定的值，本选项正确；
③由sin²A+sin²B+cos²C＜1可得sin²A+sin²B＜sin²C，
由正弦定理可得a²+b²＜c²，
再由余弦定理可得cosC＜0，C为钝角，本选项正确，
故答案为：②③

点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．