Question

如图所示，在⊙O上半圆中，AC=a，CB=b，CD⊥AB，EO⊥AB，请你利用CD≤OD≤CE写出一个含有a，b的不等式

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：连接AD，BD，OD，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，求出OD，在直角三角形ABD中，应用角的正切定义求出CD，根据CD≤OD从而得到

ab

≤

a+b

2

，在直角三角形EOC中，由勾股定理得到EC=

a2+b2 2

，又EO=OD≤EC，从而

a+b

2

≤

a2+b2 2

．

解答： 解：连接AD，BD，OD，由直径所对的圆周角为直角得，∠ADB=90°，
∵AC=a，CB=b，∴OD=

AB

2

=

a+b

2

，
在直角三角形DAC中，tan∠DAC=

CD

AC

=

CD

a

，
在直角三角形BCD中，tan∠DBC=

CD

BC

=

CD

b

，
又∠DAC+∠DBC=90°，
∴

CD

a

•

CD

b

=1，CD=

ab

，
由于CD≤OD，故

ab

≤

a+b

2

，
∵EO⊥AB，EO=

a+b

2

，
∴EC=

EO2+OC2

=

(a+b)2 4 +(a- a+b 2 )2

=

a2+b2 2

又EO=OD≤EC，
∴

a+b

2

≤

a2+b2 2

，
∴

ab

≤

a+b

2

≤

a2+b2 2

．
故答案为：

ab

≤

a+b

2

≤

a2+b2 2

．

点评：本题主要考查基本不等式的几何证明，考查平面几何的基础知识：直角三角形的勾股定理、斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角函数的定义等，是一道基础题．