Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且过点，若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断的面积是否为定值?若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）为定值，

【解析】

（1）根据椭圆的离心率为，得到，又过点，得到 ，联立求解.

（2）设，则.联立直线与椭圆的方程，由于以为直径的圆经过坐标原点，所以，即从而得到，再求得弦长

，点o到直线的距离，得到再求解..

（1）根据题意得，

解得

所以椭圆的方程为.

（2）设，则.

由于以为直径的圆经过坐标原点，所以，即.

由， ，即，

由韦达定理得 ， .

代入，得，

，

原点到直线AB的距离为：.

所以

所以的面积为定值.