【题目】如图,在三棱锥中,
平面
,
,
,
,
,
分别是
,
的中点.
(1)求三棱锥的体积;
(2)若异面直线与
所成的角为
,求
的值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)三棱锥P﹣ABC中,由PA⊥平面ABC,AC⊥AB,利用VP﹣ABCPA能求出三棱锥P﹣ABC的体积.
(2)取AC中点F,连接DF,EF,则AB∥DF,得∠EDF(或其补角)就是异面直线AB与ED所成的角θ,由此能求出tanθ.
(1)三棱锥P﹣ABC中,
∵PA⊥平面ABC,AC⊥AB,AP=BC=4,∠ABC=30°,D、E分别是BC、AP的中点,
∴AC=2,AB=2,
所以,体积VP﹣ABCPA
.
(2)取AC中点F,连接DF,EF,则AB∥DF,
所以∠EDF(或其补角)就是异面直线AB与ED所成的角θ.
由已知,AC=EA=AD=2,AB=2,PC=2
,
∵AB⊥EF,∴DF⊥EF.
在Rt△EFD中,DF,EF
,
所以,tanθ.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,且过点
,若点
在椭圆C上,则点
称为点M的一个“椭点”.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线与椭圆C相交于A,B两点,且A,B两点的“椭点”分别为P,Q,以PQ为直径的圆经过坐标原点,试判断
的面积是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由.
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【题目】已知、
是双曲线
:
(
,
)的两个顶点,点
是双曲线上异于
、
的一点,
为坐标原点,射线
交椭圆
:
于点
,设直线
、
、
、
的斜率分别为
、
、
、
.
(1)若双曲线的渐近线方程是
,且过点
,求
的方程;
(2)在(1)的条件下,如果,求△
的面积;
(3)试问:是否为定值?如果是,请求出此定值;如果不是,请说明理由.
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【题目】已知、
是双曲线
的两个顶点,点
是双曲线上异于
、
的一点,
为坐标原点,射线
交椭圆
于点
,设直线
、
、
、
的斜率分别为
、
、
、
.
(1)若双曲线的渐近线方程是
,且过点
,求
的方程;
(2)在(1)的条件下,如果,求
的面积;
(3)试问:是否为定值?如果是,请求出此定值;如果不是,请说明理由.
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【题目】设,
是
的两个非空子集,如果存在一个函数
满足:①
;② 对任意
,当
时,恒有
,那么称这两个集合为“
到
的保序同构”,以下集合对不是“
到
的保序同构”的是( )
A.B.
,
C.,
D.
,
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【题目】某校高二理科1班共有50名学生参加学业水平模拟考试,成绩(单位:分,满分100分)大于或等于90分的为优秀,其中语文成绩近似服从正态分布,数学成绩的频率分布直方图如图.
(1)这50名学生中本次考试语文、数学成绩优秀的大约各有多少人?
(2)如果语文和数学两科成绩都优秀的共有4人,从语文优秀或数学优秀的这些同学中随机抽取3人,设3人中两科都优秀的有X人,求X的分布列和数学期望;
(3)根据(1)(2)的数据,是否有99%以上的把握认为语文成绩优秀的同学,数学成绩也优秀?
语文优秀 | 语文不优秀 | 合计 | |
数学优秀 | |||
数学不优秀 | |||
合计 |
附:①若,则
,
;②
;
③
0.1 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | p>0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】设命题p:实数满足不等式
;
命题q:关于不等式
对任意的
恒成立.
(1)若命题为真命题,求实数
的取值范围;
(2)若“”为假命题,“
”为真命题,求实数
的取值范围.
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【题目】已知函数(
,
)的周期为
,图象的一个对称中心为
将函数
图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将所有图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象.
(1)求函数与
的解析式;
(2)当,求实数
与正整数
,使
在
恰有2019个零点.
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【题目】如图,已知抛物线经过点
,过点
的直线
与抛物线
有两个不同的交点
、
.
(1)求直线的斜率的取值范围;
(2)设为原点,直线
交
轴于
,直线
交
轴于
,
,
,求证:
为定值.
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