Question

【题目】已知函数（，）的周期为，图象的一个对称中心为将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所有图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．

（1）求函数与的解析式；

（2）当，求实数与正整数，使在恰有2019个零点．

Answer 1

【答案】（1）；（2），

【解析】

（1）依题意，可求得，，利用三角函数的图象变换可求得；

（2）将转化为，设，通过判断导数的增减性，确定所对应交点个数，推出值，再通过在恰有2019个零点反推出值即可

(1)函数的周期为，，

又曲线的一个对称中心为，，

故，得，所以

将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，

(2)由于，设

，可得，可得在上单调递增，与上单调递减，上单调递增，根据图像可知时，在有3解，时在有2解（舍），

而，得，从而存在，时，有2019个零点