Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₁₃＞S₆＞S₁₄，a₂=24
（1）求公差d的取值范围；
（2）问数列{S_n}是否存在最大项，若存在，求出最大时的n，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意和等差数列的性质可得a₂+8d＞0，2a₂+17d＜0，代值计算不等式可得；
（2）由（1）知等差数列{a_n}的前10项为正数，从第11项起为负数，可得当n=10时，S_n最大．

解答： 解：（1）由题意可得

S13-S6=a7+a8+…+a13=7a10＞0 S14-S6=a7+a8+…+a14=4(a10+a11)＜0

，
化简可得a₂+8d＞0，2a₂+17d＜0，即24+8d＞0，48+17d＜0
解得-3＜d＜-

48

17

，
∴公差d的取值范围为-3＜d＜-

48

17

；
（2）由（1）知a₁₀＞0，a₁₀+a₁₁＜0，∴a₁₀＞0＞a₁₁，
∴等差数列{a_n}的前10项为正数，从第11项起为负数，
∴当n=10时，S_n最大．

点评：本题考查等差数列的求和公式，涉及不等式的性质和等差数列的性质，属中档题．