Question

若a，b，c是正实数，u=

c

a+b

+

a

b+2c

+

b

a+2c

，则u的最小值为

 

．

Answer 1

考点：不等式的基本性质

专题：不等式的解法及应用

分析：令

x=a+b y=b+2c z=a+2c

，则

a= 1 2 (x+z-y) b= 1 2 (x+y-z) c= 1 4 (y+z-x)

，代入原式，化简利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：令

x=a+b y=b+2c z=a+2c

，则

a= 1 2 (x+z-y) b= 1 2 (x+y-z) c= 1 4 (y+z-x)

，
代入原式可得：
原式=

1

4

(

y

x

+

z

x

-1)+

1

2

(

x

y

+

z

y

-1)+

1

2

(

y

z

+

x

z

-1)=(

y

4x

+

x

2y

)+(

z

4x

+

x

2z

)+(

z

2y

+

y

2z

)-

5

4

≥

2

2

+

2

2

+1-

5

4

=

2

-

1

4

，当且仅当y=z=

2

x时取等号，a=b=

4 2 +2

7

c时取等号．
故答案为：

2

-

1

4

．

点评：本题考查了“换元法”、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．