Question

某高校在2014年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；
（Ⅱ）该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行问卷调查，然后再从这6名学生中随机抽取2名学生进行面谈，若这2名学生中有ξ名学生是第4组的，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）直接利用频率分布直方图求解第3，4，5组的频率；
（Ⅱ）该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行问卷调查，然后再从这6名学生中随机抽取2名学生进行面谈，若这2名学生中有ξ名学生是第4组的，得到随机变量的概率，列出ξ的分布列，然后求解数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）第3组的频率为0.06×5=0.3；
第4组的频率为0.04×5=0.2；
第5组的频率为0.02×5=0.1；
（Ⅱ）由题知，第3，4，5组抽取的学生数学分别为3，2，1，
∴ξ取0，1，2．
因为P(ξ=0)=

C 0 2 C 2 4

C 2 6

=

2

5

，P(ξ=1)=

C 1 2 • C 1 4

C 2 6

=

8

15

，P(ξ=2)=

C 2 2 C 0 4

C 2 6

=

1

15

，
所以，ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	2 5	8 15	1 15

∴Eξ=0×

2

5

+1×

8

15

+2×

1

15

=

2

3

．

点评：本题考查频率分布直方图、概率、分层抽样、随机变量的分布列与期望等基础知识，考查学生应用知识解决问题的能力，中等题．