Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，ABCD是梯形，BC∥AD，E，F分别是AD，PC的中点，△ABE，△BEC，△ECD都是边长为1的等边三角形．
（1）求证：AP∥平面EFB；
（2）若PA=PD，二面角F-EB-C的大小为

π

3

，求点F到平面PAD的距离．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连AC交EB与O，连OF，由已知条件得ABCE为平行四边形，从而OF∥AP，由此能证明AP∥平面EFB．
（2）取BC中点G，以E为原点，EA为x轴，EG为y轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF的法向量和平面BEC的法向量，由已知条件求出

EF

=（-

1

4

，

3

4

，

3

4

），再由平面PAD的法向量

p

=（0，1，0），利用向量法能求出点F到平面PAD的距离．

解答： （1）证明：连AC交EB与O，连OF，
∵ABCD是梯形，BC∥AD，
E，F分别是AD，PC的中点，
△ABE，△BEC，△ECD都是边长为1的等边三角形，
∴AE

∥

.

BC，∴ABCE为平行四边形，
∴O为AC中点，
∴在△APC中，OF∥AP，
又∵OF?平面EFB，AP?平面EFB，
∴AP∥平面EFB．
（2）解：取BC中点G，以E为原点，EA为x轴，
EG为y轴，建立空间直角坐标系，
E（0，0，0），B（

1

2

，

3

2

，0），
C（-

1

2

，

3

2

，0），设P（0，0，t），（t＞0），则F（-

1

4

，

3

4

，

t

2

），

EF

=（-

1

4

，

3

4

，

t

2

），

EB

=（

1

2

，

3

2

，0），
设平面BEF的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • EF =- 1 4 x+ 3 4 y+ t 2 z=0 n • EB = 1 2 x+ 3 2 y=0

，取x=

3

，得

n

=（

3

，-1，

3

t

），
又平面BEC的法向量

m

=（0，0，1），二面角F-EB-C的大小为

π

3

，
∴cos

π

3

=|cos＜

n

，

m

＞|=|

n • m

| n |•| m |

|=|

3 t

4+ 3 t2

|=

1

2

，
由t＞0，解得t=

3

2

．∴

EF

=（-

1

4

，

3

4

，

3

4

），
又平面PAD的法向量

p

=（0，1，0），
∴点F到平面PAD的距离d=

| p • EF |

| p |

=

3 4

1

=

3

4

．
故点F到平面PAD的距离为

3

4

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．