Question

A，B，C是△ABC的内角，向量

m

=（cos

3A

2

，sin

3A

2

），

n

=（cos

A

2

，sin

A

2

）满足|

m

+

n

|=

3

（1）求角A的大小
（2）若sinB+sinC=

3

sinA，试判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：三角形的形状判断,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：解三角形

分析：（1）根据向量数量积的坐标公式结合两角和差的余弦公式即可求角A的大小
（2）根据正弦定理将条件sinB+sinC=

3

sinA进行化简，结合余弦定理，求出B，C的大小即可判断△ABC的形状．

解答： 解：（1）∵

m

=（cos

3A

2

，sin

3A

2

），

n

=（cos

A

2

，sin

A

2

）满足|

m

+

n

|=

3

∴|

m

+

n

|²=3，
即

m

²+2

m

•

n

+

n

²=9
即2+2[cos

3A

2

cos

A

2

+sin

3A

2

sin

A

2

]=3，
即2cosA=1，
则cosA=

1

2

，
即A=

π

3

．
（2）若sinB+sinC=

3

sinA，
则由正弦定理得b+c=

3

a，
∵A=

π

3

．
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(b+c)2-2bc-a2

2bc

=

1

2

，
即

3a2-2bc-a2

2bc

=

2a2-2bc

2bc

=

1

2

，
即2a²=3bc，
即2sin²A=3sinBsinC，
即sinBsinC=

1

2

，
又sinB+sinC=

3

sinA=

3

×

3

2

=

3

2

，
∴sinB=

1

2

，sinC=1或sinC=

1

2

，sinB=1，
即B=

π

6

，C=

π

2

或C=

π

6

，B=

π

2

，
即△ABC是直角三角形．

点评：本题主要考查三角形形状的判断，利用向量数量积的坐标公式以及两角和差的余弦公式将方程进行化简是解决本题的关键．