Question

从某批次的灯泡中随机地抽取200个样品，对其使用寿命进行实验检测，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成一等品、合格品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是一等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是合格品．

寿命（天）	频数	频率
[100，200）	20	a
[200，300）	30	0.15
[300，400）	b	0.35
[400，500）	30	0.15
[500，600）	50	0.25
合计	200	1

（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；
（Ⅱ）从灯泡样品中随机地取n（n∈N^*）个，如果这n个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；
（Ⅲ）从这个批次的灯泡中随机地取3个进行使用，若将上述频率作为概率，用ξ表示3个灯泡中次品的个数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布表,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由频率分布表，得频率之和为1，频数之和为200，由此能求出a和b．
（Ⅱ）由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，优等品、正品和次品的比例为50：100：50=1：2：1．由此按分层抽样法，能求出n的最小值．
（Ⅲ）由已知得ξ的所有取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，

1

4

），由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）由频率分布表，得：
a=1-0.15-0.35-0.15-0.25=0.1．
b=200-20-30-30-50=70．
（Ⅱ）由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，
∴优等品、正品和次品的比例为50：100：50=1：2：1．…（4分）
∴按分层抽样法，购买灯泡数n=k+2k+k=4k（k∈N^*），
∴n的最小值为4．…（6分）
（Ⅲ）ξ的所有取值为0，1，2，3．…（7分）
由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.1+0.15=0.25，…（8分）
从本批次灯泡中购买3个，ξ表示3个灯泡中次品的个数，则ξ～B（3，

1

4

），
∴P（ξ=0）=

C

0 3

×（1-

1

4

）³=

27

64

，
P（ξ=1）=

C

1 3

(

1

4

)(1-

1

4

)2=

27

64

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(

1

4

)2(1-

1

4

)=

9

64

，
P（ξ=3）=

C

3 3

(

1

4

)3=

1

64

，…（11分）
∴随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

…（12分）
∴ξ的数学期望E（ξ）=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

．…（13分）

点评：本题考查频率分布列的应用，考查分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．