Question

在等腰直角△ABC中AC=BC，E为AC的中点，ED⊥AB于点D，将△ADE沿DE折起后为△A′DE使得面A′DE⊥面BCED．若F为线段A′B上一点及

A′F

A′B

=λ．
①当λ=

1

3

时，求证：FC∥面A′DE；
②当二面角∠B-DF-C的余弦值为值

3

7

，求λ的值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：①设等腰直角△ABC中，AC=BC=2，以D为原点，DB为x轴，DE为y轴，DA′为z轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出

CF

=（0，-

2

，

2

3

）和平面A′DE的法向量

m

=（1，0，0），由此能证明CF∥平面A′DE．
②分别求出平面BDF的法向量和平面CDF的法向量，由此利用向量法能求出二面角∠B-DF-C的余弦值

3

7

时λ=

1

10

．

解答： ①证明：设等腰直角△ABC中，AC=BC=2，
则AB=

4+4

=2

2

，C到AB的距离d=

2

，DE=AD

2

2

，
如图，以D为原点，DB为x轴，DE为y轴，
DA′为z轴，建立空间直角坐标系，
A′（0，0，

2

2

，B（

3 2

2

，0，0），设F（a，b，c），
∵

A′F

A′B

=λ，λ=

1

3

，∴

A′F

=

1

3

A′B

，
∴（a，b，c-

2

2

）=（

2

2

，0，-

2

6

），
∴a=

2

2

，b=0，c=

2

3

，∴F（

2

2

，0，

2

3

），
∵C（

2

2

，

2

，0），∴

CF

=（0，-

2

，

2

3

），
∵平面A′DE的法向量

m

=（1，0，0），
∴

m

•

CF

=0，又CF?平面A′DE，
∴CF∥平面A′DE．
②由已知得平面BDF的法向量

n

=（0，1，0），
D（0，0，0），C（

2

2

，

2

，0），A′（0，0，

2

2

，B（

3 2

2

，0，0），设F（a，b，c），

A′F

=（a，b，c-

2

2

），

A′B

=（

3 2

2

，0，-

2

2

），

DC

=（

2

2

，

2

，0），
∵

A′F

A′B

=λ，∴

A′F

=λ

A′B

，∴

a= 3 2 2 λ b=0 c- 2 2 =- 2 2 λ

，∴

DF

=（

3 2

2

λ，0，

2

2

-

2

2

λ），
设平面CDF的法向量

p

=（x₁，y₁，z₁），
则

p • DC = 2 2 x1+ 2 y1=0 p • DF = 3 2 2 λx1+( 2 2 - 2 2 λ)z1=0

，取x₁=2，得

p

=（2，-1，

6λ

λ-1

），
∵二面角∠B-DF-C的余弦值

3

7

，
∴|cos＜

n

，

p

＞|=|

-1

5+ 36λ2 (λ-1)2

|=

1

5+ 36λ2 (λ-1)2

=

3

7

，
由0≤λ≤1，解得λ=

1

10

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．