Question

如图，已知P为△ABC内一点，且满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，求证：cotθ=cotA+cotB+cotC

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：如图所示，设PA=x，PB=y，PC=z，利用余弦定理列出三个关系式，相加整理表示出cosθ，利用三角形面积公式列出关系式，整理表示出sinθ，进而利用同角三角函数间基本关系表示出cotθ，由余弦定理表示出cosA，利用三角形面积公式表示出sinA，进而表示出cotA，同理表示出cotB与cotC，代入cotA+cotB+cotC中，整理即可得证．

解答： 证明：如图所示，设PA=x，PB=y，PC=z，
在△ABP中根据余弦定理有：2cxcosθ=x²+c²-y²①，
同理得到2aycosθ=y²+a²-z²②；2bzcosθ=z²+b²-x²③，
①+②+③得：2（cx+ay+bz）cosθ=a²+b²+c²，
整理得：cosθ=

a2+b2+c2

2(cx+ay+bz)

，
∵S_△ABC=S_△ABP+S_△BCP+S_△ACP=

1

2

cxsinθ+

1

2

aysinθ+

1

2

bzsinθ=

1

2

（cx+ay+bz）sinθ，
∴sinθ=

2S△ABC

cx+ay+bz

，
∴cotθ=

cosθ

sinθ

=

a2+b2+c2

4S△ABC

，
由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

，根据面积公式得：sinA=

2S△ABC

bc

，
∴cotA=

cosA

sinA

=

b2+c2-a2

4S△ABC

，
同理可得cotB=

a2+c2-b2

4S△ABC

，cotC=

a2+b2-c2

4S△ABC

，
则cotA+cotB+cotC=

b2+c2-a2+a2+c2-b2+a2+b2-c2

4S△ABC

=

a2+b2+c2

4S△ABC

=cotθ．

点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．