Question

【题目】设圆的圆心为A，直线过点B（1,0）且与轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（Ⅰ）证明：为定值，并写出点E的轨迹方程；

（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线交C1于M,N两点，过B且与垂直的直线与C1交于P,Q两点， 求证：是定值，并求出该定值.

Answer 1

【答案】（I）（）；（II）

【解析】

（I）根据几何关系，即可证明为定值，再利用椭圆的定义即可求出点E的轨迹方程；

（Ⅱ）利用点斜式设出直线的方程，与椭圆方程联立方程组，得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系以及弦长公式表示出，同理可得，代入中进行化简即可证明为定值。

（I）因为，，故，

所以，故.

又圆的标准方程为，从而，

所以，由题设得，，，

由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.

（II）依题意：与轴不垂直，设的方程为,,.

由得,.

则，.

所以.

同理： 故(定值)