Question

【题目】已知f（x）=|2x﹣1|+x+ 的最小值为m．
（1）求m的值；
（2）已知a，b，c是正实数，且a+b+c=m，求证：2（a3+b3+c3）≥ab+bc+ca﹣3abc．

Answer 1

【答案】
（1）解：当x≥ 时，f（x）=3x﹣ 递增，且f（x）≥ ﹣ =1；

当x＜ 时，f（x）= ﹣x递减，且f（x）＞ ﹣ =1；

综上可得x= 时，f（x）取得最小值1，即m=1

（2）解：证明：a，b，c是正实数，且a+b+c=1，

由a3+b3﹣a2b﹣b2a=a2（a﹣b）+b2（b﹣a）=（a﹣b）（a2﹣b2）=（a+b）（a﹣b）2≥0，

即有a3+b3﹣a2b﹣b2a≥0，即a3+b3≥a2b+b2a=ab（a+b）=ab（1﹣c）=ab﹣abc，

可得a3+b3≥ab﹣abc，

同理可得b3+c3≥bc﹣abc，

c3+a3≥ca﹣abc，

上面三式相加可得，2（a3+b3+c3）≥ab+bc+ca﹣3abc，

当且仅当a=b=c= 取得等号

【解析】（1）讨论当x≥ 时，当x＜ 时，去掉绝对值，运用一次函数的单调性，可得最小值；（2）由a+b+c=1，先证a3+b3≥a2b+b2a，由作差法可得，即有a3+b3≥ab﹣abc，同理可得b3+c3≥bc﹣abc，c3+a3≥ca﹣abc，累加即可得证．
【考点精析】解答此题的关键在于理解不等式的证明的相关知识，掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等．