Question

【题目】已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）经过点P（2， ），离心率e= ，直线l的渐近线为x=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过椭圆右焦点D的任一直线（不经过点P）与椭圆交于两点A，B，设直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1 ， k2 ， k3 ， 问是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由点 在椭圆上得， ① ②

由 ①②得c2=4，a2=8，b2=4，故椭圆C的方程为

（2）解：假设存在常数λ，使得k1+k2=λk3．

由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣2）③

代入椭圆方程 并整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则有 ④

在方程③中，令x=4得，M（4，2k），从而 ， ， ．

又因为A、F、B共线，则有k=kAF=kBF，

即有

所以k1+k2= =

= ⑤

将④代入⑤得k1+k2= ，又 ，

所以k1+k2=2k3．故存在常数λ=2符合题意

【解析】（1）利用点 在椭圆上，椭圆的离心率，求解a，b，得到椭圆方程．（2）假设存在常数λ，使得k1+k2=λk3 ． 设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），利用韦达定理，结合A、F、B共线，通过k=kAF=kBF ， 求出k1+k2 ， 然后推出k1+k2=2k3 ． 即可．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．