Question

已知：集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）函数f（x）=

1

x

是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f（x）=lg

a

x2+1

∈M，求正实数a的取值范围；
（3）证明：函数f（x）=2^x+x²∈M．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：综合题,集合

分析：（1）集合M中元素的性质，即有f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，代入函数解析式列出方程，进行求解，若无解则此函数不是M的元素，若有解则此函数是M的元素；
（2）根据f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）和对数的运算，求出关于a的方程，再根据方程有解的条件求出a的取值范围，当二次项的系数含有参数时，考虑是否为零的情况；
（3）根据定义只要证明f（x+1）=f（x）+f（1）有解，把解析式代入列出方程，转化为对应的函数，利用函数的零点存在性判定理进行判断．

解答： 解：（1）f（x）=

1

x

的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
令

1

x+1

=

1

x

+1，整理得x²+x+1=0，△=-3＜0，
因此，不存在x∈（-∞，0）∪（0，+∞），使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立，
所以f（x）=

1

x

∉M；    （4分）
（2）f（x）=lg

a

x2+1

的定义域为R，f（1）=lg

a

2

，a＞0，
若f（x）=lg

a

x2+1

∈M，则存在x∈R使得lg

a

(x+1)2+1

=lg

a

x2+1

+lg

a

2

，
整理得存在x∈R使得（a²-2a）x²+2a²x+（2a²-2a）=0．
①若a²-2a=0即a=2时，方程化为8x+4=0，解得x=-

1

2

，满足条件：
②若a²-2a≠0即a∈（-∞，2）∪（2，+∞）时，
令△≥0，解得a∈[3-

5

，2）∪（2，3+

5

]，
综上，a∈[3-

5

，3+

5

]；  （8分）
（3）f（x）=2^x+x²的定义域为R，
令2^x+1+（x+1）²=（2^x+x²）+（2+1），整理得2^x+2x-2=0，
令g（x）=2^x+2x-2，所以g（0）•g（1）=-2＜0，
即存在x₀∈（0，1）使得g（x）=2^x+2x-2=0，
亦即存在x₀∈R使得2^x+1+（x+1）²=（2^x+x²）+（2+1），
故f（x）=2^x+x²∈M． （12分）

点评：本题的考点是元素与集合的关系，此题的集合中的元素是集合，主要利用了元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数的元素性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力．