Question

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=$\sqrt{5}$，sinC=2sinA．
（1）求边c的长；
（2）若b=3，求△ABC面积S的值．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简得到c=2a，由条件可得c的值；
（2）利用余弦定理列出关系式求得cosA的值，再由同角的平方关系可得sinA，运用三角形的面积公式计算即可得到所求值．

解答 解：（1）由正弦定理，可得
sinC=2sinA．即为c=2a，
由a=$\sqrt{5}$，可得c=2$\sqrt{5}$；
（2）由余弦定理，可得
cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{9+20-5}{2×3×2\sqrt{5}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
即有sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\sqrt{1-\frac{4}{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
则△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×3×2$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=3．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键．