Question

14．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，椭圆C与y轴交于A，B两点，且|AB|=2．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧，直线PA，PB与直线x=4交于M，N两点，若以MN为直径的圆与x轴交于E，F两点，求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得，2b=2，再由椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解得a=2，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）方法一、设P（x₀，y₀）（0＜x₀≤2），A（0，-1），B（0，1），求出直线PA，PB的方程，与直线x=4的交点M，N，可得MN的中点，圆的方程，令y=0，求得与x轴的交点坐标，运用弦长公式，结合${x_0}∈（\frac{8}{5}，2]$．即可得到所求最大值；
方法二、设P（x₀，y₀）（0＜x₀≤2），A（0，-1），B（0，1），求出直线PA，PB的方程，与直线x=4的交点M，N，以MN为直径的圆与x轴相交，可得y_My_N＜0，求得${x_0}∈（\frac{8}{5}，2]$，再由弦长公式，可得最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得，2b=2，即b=1，
$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得$\frac{{{a^2}-1}}{a^2}=\frac{3}{4}$，
解得a²=4，
椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）方法一、设P（x₀，y₀）（0＜x₀≤2），A（0，-1），B（0，1），
所以${k_{PA}}=\frac{{{y_0}+1}}{x_0}$，直线PA的方程为$y=\frac{{{y_0}+1}}{x_0}x-1$，
同理：直线PB的方程为$y=\frac{{{y_0}-1}}{x_0}x+1$，
直线PA与直线x=4的交点为$M（4，\frac{{4（{y_0}+1）}}{x_0}-1）$，
直线PB与直线x=4的交点为$N（4，\frac{{4（{y_0}-1）}}{x_0}+1）$，
线段MN的中点$（4，\frac{{4{y_0}}}{x_0}）$，
所以圆的方程为${（x-4）^2}+{（y-\frac{{4{y_0}}}{x_0}）^2}={（1-\frac{4}{x_0}）^2}$，
令y=0，则${（x-4）^2}+\frac{16y_0^2}{x_0^2}={（1-\frac{x_0}{4}）^2}$，
因为$\frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1$，所以 $\frac{y_0^2-1}{x_0^2}=-\frac{1}{4}$，
所以${（x-4）^2}+\frac{8}{x_0}-5=0$，
设交点坐标（x₁，0），（x₂，0），可得x₁=4+$\sqrt{5-\frac{8}{{x}_{0}}}$，x₂=4-$\sqrt{5-\frac{8}{{x}_{0}}}$，
因为这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解，
所以 $5-\frac{8}{x_0}＞0$，解得${x_0}∈（\frac{8}{5}，2]$．
则$|{x_1}-{x_2}|=2\sqrt{5-\frac{8}{x_0}}$（$\frac{8}{5}＜{x_0}≤2$）
所以当x₀=2时，该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．
方法二：设P（x₀，y₀）（0＜x₀≤2），A（0，-1），B（0，1），
所以${k_{PA}}=\frac{{{y_0}+1}}{x_0}$，直线PA的方程为$y=\frac{{{y_0}+1}}{x_0}x-1$，
同理：直线PB的方程为$y=\frac{{{y_0}-1}}{x_0}x+1$，
直线PA与直线x=4的交点为$M（4，\frac{{4（{y_0}+1）}}{x_0}-1）$，
直线PB与直线x=4的交点为$N（4，\frac{{4（{y_0}-1）}}{x_0}+1）$，
若以MN为直径的圆与x轴相交，
则$[\frac{{4（{y_0}+1）}}{x_0}-1]×$$[\frac{{4（{y_0}-1）}}{x_0}+1]＜0$，
即$\frac{16（y_0^2-1）}{x_0^2}-\frac{{4（{y_0}-1）}}{x_0}+\frac{{4（{y_0}+1）}}{x_0}-1＜0$，
即$\frac{16（y_0^2-1）}{x_0^2}+\frac{8}{x_0}-1＜0$．
因为$\frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1$，所以$\frac{y_0^2-1}{x_0^2}=-\frac{1}{4}$，
代入得到$5-\frac{8}{x_0}＞0$，解得${x_0}∈（\frac{8}{5}，2]$．
该圆的直径为$|\frac{{4（{y_0}+1）}}{x_0}-1-（\frac{{4（{y_0}-1）}}{x_0}+1）|=|2-\frac{8}{x_0}|$，
圆心到x轴的距离为$\frac{1}{2}|\frac{{4（{y_0}+1）}}{x_0}-1+（\frac{{4（{y_0}-1）}}{x_0}+1）|=|\frac{{4{y_0}}}{x_0}|$，
该圆在x轴上截得的弦长为$2\sqrt{{{（1-\frac{4}{x_0}）}^2}-{{（\frac{{4{y_0}}}{x_0}）}^2}}=2\sqrt{5-\frac{8}{x_0}}，（\frac{8}{5}＜x≤2）$；
所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线和圆相交的弦长问题，注意运用圆的方程，以及直线和圆相交的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．