Question

9．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为$\frac{4}{π}$．后人导出了“牟合方盖”的$\frac{1}{8}$体积计算公式，即$\frac{1}{8}$V_牟=r³-V_方盖差，r为球的半径，也即正方形的棱长均为2r，为从而计算出V_球=$\frac{4}{3}$πr³．记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V_正，棱长为2r的正方形的方盖差为V_方盖差，则$\frac{{V}_{方盖差}}{{V}_{正}}$=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 计算出V_方盖差，V_正，即可得出结论

解答 解：解：由题意，V_方盖差=r³-$\frac{1}{8}$V_牟=r³-$\frac{1}{8}$×$\frac{4}{π}$×$\frac{4}{3}$×π×r³=$\frac{1}{3}$r³，
所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V_正=$\frac{1}{3}$×$r×r×\sqrt{{r}^{2}-（\frac{\sqrt{2}r}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$r³，
∴$\frac{{V}_{方盖差}}{{V}_{正}}$=$\frac{\frac{1}{3}{r}^{3}}{\frac{\sqrt{2}{r}^{3}}{6}}$=$\sqrt{2}$，
故选：C．

点评 本题考查新定义，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础