Question

19．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=0交椭圆于A，B两点．若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离等于$\frac{4}{5}$，则椭圆焦距是（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．解得a=2，取M（0，b），由点M到直线l的距离$\frac{4}{5}$，得到b=1，由a，b，c的关系可得c，进而得到焦距2c．

解答 解：如图所示，
设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，
则四边形AFBF′是平行四边形，
可得|AF|+|BF|=|AF|+|AF′|=2a=4，解得a=2．
取M（0，b），可得点M到直线l的距离$\frac{4}{5}$，
即有$\frac{4b}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{4}{5}$，解得b=1，
c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
则焦距为2c=2$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．