Question

11．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠CAD=$\frac{π}{4}$，AC=7，cos∠ADB=-$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若BD=10，求△ABD的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平方关系求出sin∠ADB的值，由图象和两角差的正弦公式求出sinC的值；
（Ⅱ）由（I）和正弦定理求出AD的长，代入三角形的面积公式求出△ABD的面积．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，因为$cos∠ADB=-\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，且∠ADB∈（0，π），（1分）
所以$sin∠ADB=\sqrt{1-{{cos}^2}∠ADB}=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$．（2分）
因为$∠CAD=\frac{π}{4}$，所以$C=∠ADB-\frac{π}{4}$．（3分）
所以$sinC=sin（∠ADB-\frac{π}{4}）=sin∠ADB•cos\frac{π}{4}-cos∠ADB•sin\frac{π}{4}$（5分）
=$\frac{{7\sqrt{2}}}{10}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{10}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{4}{5}$．（6分）
（Ⅱ）在△ACD中，由正弦定理得$\frac{AD}{sinC}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，（7分）
所以AD=$\frac{AC•sinC}{sin∠ADC}$=$\frac{7×\frac{4}{5}}{\frac{7\sqrt{2}}{10}}$=4$\sqrt{2}$，（9分），
所以${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}AD•BD•sin∠ADB=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×10×\frac{{7\sqrt{2}}}{10}=28$．（12分）

点评 本题考查正弦定理，两角差的正弦公式，以及三角形的面积公式，考查化简、计算能力，属于中档题．