Question

6．已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，若f′（x）是偶函数，且f′（1）=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于区间[1，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|g（x₁）-g（x₂）|≤c，其中g（x）=$\frac{1}{3}$f（x）-6lnx，求实数c的最小值；
（3）若过点M（2，m），能作曲线y=xf（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，由偶函数的定义，可得b=0，求得a=1，进而得到f（x）的解析式；
（2）求出g（x）的解析式，求得导数，分解因式，判断g（x）在[1，2]的单调性，可得最值，要满足题意，只需c≥|g（x₁）-g（x₂）|_max，计算即可得到c的最小值；
（3）设切点为（x₀，y₀），求出函数y的导数，切线的斜率和方程，代入（2，m），可得m=-3x₀⁴+8x₀³+3x₀²-12x₀，（*）设h（x）=-3x⁴+8x³+3x²-12x，求出h（x）的导数，单调区间，可得极值，由条件即可得到m的值．

解答 解：（1）函数f（x）=ax³+bx²-3x的导数为f′（x）=3ax²+2bx-3，
f′（x）是偶函数，可得f′（-x）=f′（x），
即3ax²+2bx-3=3ax²-2bx-3，解得b=0，
又f′（1）=0，即3a-3=0，解得a=1，
即有f（x）=x³-3x；
（2）g（x）=$\frac{1}{3}$f（x）-6lnx=$\frac{1}{3}$x³-x-6lnx，
g′（x）=x²-1-$\frac{6}{x}$=$\frac{{x}^{3}-x-6}{x}$=$\frac{{x}^{3}-8-（x-2）}{x}$=$\frac{（x-2）（{x}^{2}+2x+3）}{x}$，
由x∈[1，2]，g′（x）＜0，g（x）在[1，2]递减，
可得g（x）_max=g（1）=-$\frac{2}{3}$，g（x）_min=g（2）=$\frac{2}{3}$-6ln2，
若要满足题意，只需c≥|g（x₁）-g（x₂）|_max=g（1）-g（2）=-$\frac{4}{3}$+6ln2，
即c_min=-$\frac{4}{3}$+6ln2；
（3）y=xf（x）=x⁴-3x²，设切点为（x₀，y₀），y₀=x₀⁴-3x₀²，
导数y′=4x³-6x，切线的斜率k=4x₀³-6x₀，
切线的方程为y-（x₀⁴-3x₀²）=（4x₀³-6x₀）（x-x₀），
将（2，m）代入可得m-（x₀⁴-3x₀²）=（4x₀³-6x₀）（2-x₀）
m=-3x₀⁴+8x₀³+3x₀²-12x₀，（*）
设h（x）=-3x⁴+8x³+3x²-12x，
可得h′（x）=-12x³+24x²+6x-12=-6（x-2）（2x²-1），
由h′（x）＞0可得x＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x＜2；
由h′（x）＜0可得-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$或x＞2．
即有h（x）在（-∞，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2）递增；在（2，+∞），（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）递减．
可得h（x）在x=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$处取得极大值$\frac{3}{4}$+4$\sqrt{2}$；在x=2处取得极大值为4；
在x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$处取得极大值$\frac{3}{4}$-4$\sqrt{2}$．
可得m=4或$\frac{3}{4}$-4$\sqrt{2}$时，（*）有三解．
综上可得实数m的取值范围是{4，$\frac{3}{4}$-4$\sqrt{2}$}．

点评 本题考查导数的运用：求求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意转化为求函数的最值问题，考查构造函数法，运用导数求得极值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．