Question

已知|

a

|=

2

，|

b

|=1，

a

与

b

的夹角为45°，求使向量（2

a

+λ

b

）与（λ

a

-3

b

）的夹角是锐角的λ的取值范围．

Answer 1

分析：由题意可得

a

•

b

=

2

×1×cos45°=1，再根据 

2

λ

≠

λ

-3

，且（2

a

+λ

b

）•（λ

a

-3

b

）=2λ

a

2+（λ²-6）

a

•

b

-3λ

b

2＞0，求得λ的取值范围．

解答：解：由题意可得，

a

•

b

=

2

×1×cos45°=1，
再由向量（2

a

+λ

b

）与（λ

a

-3

b

）的夹角是锐角，
可得（2

a

+λ

b

）与（λ

a

-3

b

）不共线且（2

a

+λ

b

）•（λ

a

-3

b

）＞0．
故有 

2

λ

≠

λ

-3

，且（2

a

+λ

b

）•（λ

a

-3

b

）=2λ

a

2+（λ²-6）

a

•

b

-3λ

b

2＞0，
即 4λ+λ²-6-3λ＞0，且λ²≠-6．
解得 λ＞2，或λ＜-3，
故λ的取值范围为 {λ|λ＞2，或λ＜-3}．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，一元二次不等式的解法，属于中档题．