Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
（1）若a=4，b=3，过点P（6，3）的动直线l与双曲线C相交于不同两点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|

AP

|•|

QB

|=|

AQ

|•|

PB

|，求证点Q总在某定直线上．
（2）在双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），过双曲线外一点P（m，n）的动直线l与双曲线C相交于不同两点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|

AP

|•|

QB

|=|

AQ

|•|

PB

|，则点Q在哪条定直线上？
（3）试将该结论推广至其它圆锥曲线上，证明其中的一种情况，并猜想该直线具有的性质．

Answer 1

分析：（1）a=4，b=3，可得双曲线的方程．欲证点Q总在某定直线上，所以先设点Q的坐标为变量（x，y），点A、B的坐标分别为参数（x₁，y₁）、（x₂，y₂），然后根据已知条件可变形得

| AP |

| PB |

=

| AQ |

| QB |

，设其比值为λ则有

AP

=-λ

PB

、

AQ

=λ

QB

，此时利用定比分点定理可得A、B、P三点横坐标关系及纵坐标关系，同时可得A、B、Q三点横坐标关系及纵坐标关系，又因为点A、B的坐标满足双曲线方程，再利用已得关系式可整体替换，同时消去参数λ，最后得到变量x、y的关系式，则问题得证．
（2）类似于（1）可得结论：在双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），过双曲线外一点P（m，n）的动直线l与双曲线C相交与不同两点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|

AP

|•|

QB

|=|

AQ

|•|

PB

|，得出点Q在那条定直线上；
（3）该结论推广至其它椭圆上，有：在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），过椭圆外一点P（m，n）的动直线l与椭圆C相交与不同两点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|

AP

|•|

QB

|=|

AQ

|•|

PB

|，得出点Q在定直线b²mx+a²ny=a²b²上．

解答：解：（1）由题意得双曲线C的方程为

x2

16

-

y2

9

=1．

设点Q、A、B的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由题设知 |

AP

|，|

PB

|，|

AQ

|，|

QB

|均不为零，记 λ=

| AP |

| PB |

=

| AQ |

| QB |

，则λ＞0且λ≠1
又A，P，B，Q四点共线，从而

AP

=-λ

PB

，

AQ

=λ

QB

于是 6=

x1-λx2

1-λ

，3=

y1-λy2

1-λ

，x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

从而

x 2 1 -λ2 x 2 2

1-λ2

=6x①，

y 2 1 -λ2 y 2 2

1-λ2

=3y②，
又点A、B在椭圆C上，即

x 12

16

-

y 12

9

=1 ③，

x 22

16

-

y 22

9

=1 ④，
①×9-②×16并结合③、④得9x-8y=24，
即点Q（x，y）总在定直线9x-8y=24上．
（2）类似于（1）可得结论：在双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），过双曲线外一点P（m，n）的动直线l与双曲线C相交与不同两点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|

AP

|•|

QB

|=|

AQ

|•|

PB

|，
得出点Q在定直线b²mx-a²ny=a²b²上；
（3）该结论推广至其它椭圆上，有：
在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），过椭圆外一点P（m，n）的动直线l与椭圆C相交与不同两点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|

AP

|•|

QB

|=|

AQ

|•|

PB

|，得出点Q在定直线b²mx+a²ny=a²b²上；
类似于（1）得：
于是 m=

x1-λx2

1-λ

，n=

y1-λy2

1-λ

，x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

从而

x 2 1 -λ2 x 2 2

1-λ2

=mx①，

y 2 1 -λ2 y 2 2

1-λ2

=ny②，
又点A、B在椭圆C上，即

x 12

a2

+

y 12

b2

=1③，

x 22

a2

+

y 22

b2

=1 ④，
①×b²+②×a²并结合③、④得b²mx+a²ny=a²b²，
即点Q（x，y）总在定直线b²mx+a²ny=a²b²上．

点评：本题综合考查双曲线性质与定比分点定理，同时考查构造消元处理方程组的能力．