Question

【题目】已知椭圆C：的左焦点为F（﹣1，0），离心率为，过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】1；（Ⅱ）（，0）

【解析】

（Ⅰ）由题意可知：c＝1，a2＝b2﹣c2，e，由此求出椭圆的方程．（II）设直线AB的方程为y＝k（x+1）（k≠0），联立方程，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0．由直线AB过椭圆的左焦点F，记A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点N（x0，y0），x1+x2，x0，垂直平分线NG的方程为y﹣y0，由此能求出点G横坐标的取值范围．

（Ⅰ）由题意可知：c＝1，a2＝b2﹣c2，e

解得：a，b＝1

故椭圆的方程为：1

（II）设直线AB的方程为y＝k（x+1）（k≠0），

与椭圆联立，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0

∵直线AB过椭圆的左焦点F∴方程有两个不等实根．

记A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点N（x0，y0）

则x1+x2

x0

垂直平分线NG的方程为y﹣y0，

令y＝0，得xG＝x0+ky0

．

∵k≠0，∴0

∴点G横坐标的取值范围为（，0）．