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如图,已知圆E:,点,P是圆E上任意一点.线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.
(1)求动点Q的轨迹的方程;
(2)已知A,B,C是轨迹的三个动点,A与B关于原点对称,且,问△ABC的面积是否存在最小值?若存在,求出此时点C的坐标,若不存在,请说明理由.
(1);(2)存在最小值.点C的坐标为

试题分析:(1)连结QF,由于线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,所以|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4,根据椭圆的定义知,动点Q的轨迹是以E,F为焦点,长轴长为4的椭圆.由此便可得其方程;(2)首先考虑直线AB的斜率为0或斜率不存在的情况,此时易得.当直线AB的斜率存在且不为0时,设斜率为k,则直线AB的直线方程为,将△ABC的面积用含k的式子表示出来,然后利用重要不等式求其最小值.
(1)连结QF,根据题意,|QP|=|QF|,则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4
故动点Q的轨迹是以E,F为焦点,长轴长为4的椭圆. 2分
设其方程为,可知,则,  3分
所以点Q的轨迹的方程为为. 4分
(2)存在最小值. 5分

(ⅰ)当AB为长轴(或短轴)时,可知点C就是椭圆的上、下顶点(或左、右顶点),则. 6分
(ⅱ)方法一、当直线AB的斜率存在且不为0时,设斜率为k,则直线AB的直线方程为,设点
联立方程组消去y得
,知△ABC是等腰三角形,O为AB的中点,则OC⊥AB,可知直线OC的方程为,同理可得点C的坐标满足,则,                                        8分
.           9分
由于
所以,当且仅当,即时取等号.
综合(ⅰ)(ⅱ),当时,△ABC的面积取最小值, 11分
此时,即
所以点C的坐标为. 13分
方法二、前同(ⅰ),记,则,所以

,即时,有最大值,此时取得最小值
综合(ⅰ)(ⅱ),当时,△ABC的面积取得最小值. 11分
此时,即
所以点C的坐标为. 13分
方法三、设,根据A,B两点关于原点对称,
,所以
,知△ABC是等腰三角形,O为AB的中点,则OC⊥AB,
,                           ①
且点C在椭圆上,则             ②
联立①②,解得,所以, 8分
所以, 9分
,即,所以

,当且仅当,即时等号成立,
综合(ⅰ)(ⅱ),当时,有最小值. 11分
所以点C的坐标为. 13分
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