试题分析:(1)连结QF,由于线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,所以|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4
,根据椭圆的定义知,动点Q的轨迹
是以E,F为焦点,长轴长为4的椭圆.由此便可得其方程;(2)首先考虑直线AB的斜率为0或斜率不存在的情况,此时易得
.当直线AB的斜率存在且不为0时,设斜率为k,则直线AB的直线方程为
,将△ABC的面积用含k的式子表示出来,然后利用重要不等式求其最小值.
(1)连结QF,根据题意,|QP|=|QF|,则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4
,
故动点Q的轨迹
是以E,F为焦点,长轴长为4的椭圆. 2分
设其方程为
,可知
,
,则
, 3分
所以点Q的轨迹
的方程为为
. 4分
(2)存在最小值. 5分
(ⅰ)当AB为长轴(或短轴)时,可知点C就是椭圆的上、下顶点(或左、右顶点),则
. 6分
(ⅱ)方法一、当直线AB的斜率存在且不为0时,设斜率为k,则直线AB的直线方程为
,设点
,
联立方程组
消去y得
,
,
由
,知△ABC是等腰三角形,O为AB的中点,则OC⊥AB,可知直线OC的方程为
,同理可得点C的坐标满足
,
,则
,
, 8分
则
. 9分
由于
,
所以
,当且仅当
,即
时取等号.
综合(ⅰ)(ⅱ),当
时,△ABC的面积取最小值
, 11分
此时
,
,即
,
,
所以点C的坐标为
,
,
,
. 13分
方法二、前同(ⅰ),记
,则
,所以
,
故
,
当
,即
时,
有最大值
,此时
取得最小值
.
综合(ⅰ)(ⅱ),当
时,△ABC的面积取得最小值
. 11分
此时
,
,即
,
,
所以点C的坐标为
,
,
,
. 13分
方法三、设
,
,根据A,B两点关于原点对称,
则
,所以
,
由
,知△ABC是等腰三角形,O为AB的中点,则OC⊥AB,
,
,
由
, ①
且点C在椭圆上,则
②
联立①②,解得
,
,所以
, 8分
所以
, 9分
又
,即
,所以
,
记
,
,
,
则
,当且仅当
,即
时等号成立,
综合(ⅰ)(ⅱ),当
时,
有最小值
. 11分
所以点C的坐标为
,
,
,
. 13分