Question

9．设$\overrightarrow{a}$=（cosx+sinx，$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx-sinx，2sinx），其中x∈R．函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求函数f（x）的最大值、最小值及相应x的值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得f（x），再利用正弦函数的单调性与值域即可得出最值；
（2）利用正弦函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+2$\sqrt{3}$sinxcosx
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
=2$sin（2x+\frac{π}{6}）$．
当2x+$\frac{π}{6}$=$2kπ+\frac{π}{2}$，即x=$kπ+\frac{π}{6}$时，$sin（2x+\frac{π}{6}）$取得最大值1．因此函数f（x）取得最大值2．
当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，即x=kπ-$\frac{π}{3}$时，$sin（2x+\frac{π}{6}）$取得最小值-1．因此函数f（x）取得最小值-2．
（2）由$\frac{π}{2}+2kπ$≤$2x+\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递减区间是[kπ+$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z．

点评 本题考查了数量积运算性质、倍角公式、和差公式、正弦函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．