Question

12．下列对于函数f（x）=2+2cos²x，x∈（0，3π）的判断不正确的是（　　）

• A． 对于任意x∈（0，3π），都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），则|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{2}$
• B． 存在a∈R，使得函数f（x+a）为偶函数
• C． 存在x₀∈（0，3π），使得f（x₀）=4
• D． 函数f（x）在区间$[\frac{π}{2}，\frac{5π}{4}]$内单调递增

Answer 1

分析 化简f（x）=2+2cos²x=2+cos2x+1=3+cos2x，根据函数的周期性可判断A；取a=π进行验证，可判断B；根据三角函数的性质可判断C；根据函数的单调性可判断D．

解答 解：f（x）=2+2cos²x=2+cos2x+1=3+cos2x，
对于A，函数f（x）的周期为$T=\frac{2π}{2}=π$，对于任意x∈（0，3π），都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），
可知f（x₁）是函数的最小值，f（x₂）是函数的最大值，|x₁-x₂|的最小值就是函数的半周期$\frac{π}{2}$，故A正确；
对于B，不妨取a=π，则函数f（x+a）=3+cos（2x+2π）=3+cos2x为偶函数，故B正确；
对于C，x=π∈（0，3π），cos2x=1，f（x）=4，故存在x₀∈（0，3π），使得f（x₀）=4，故C正确；
对于D，当x∈$[\frac{π}{2}，\frac{5π}{4}]$时，2x∈$[π，\frac{5π}{2}]$，此时函数不具备单调性，故D不正确．
∴对于函数f（x）=2+2cos²x，x∈（0，3π）的判断不正确的是：D．
故选：D．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质，解题的关键是掌握三角函数的性质及函数奇偶性的判断，是中档题．