Question

10．如图的多面体中，ABCD为矩形，且AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE的中点，AE⊥BE．
（1）求证：AE∥平面BFD；
（2）求三棱锥E-BDC的体积．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理即可证明AE∥平面BDF；
（2）取AB的中点O，连接EO，则EO⊥平面ABCD，EO=$\sqrt{2}$，即可求三棱锥E-BDC的体积．

解答 （1）证明：设AC∩BD=G，连接FG，易知G是AC的中点，
∵F是EC中点．
∴在△ACE中，FG∥AE，
∵AE?平面BFD，FG?平面BFD，
∴AE∥平面BFD．
（2）解：取AB的中点O，连接EO，则EO⊥平面ABCD，EO=$\sqrt{2}$，
∴三棱锥E-BDC的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2×\sqrt{2}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查空间平行的位置关系的判断，考查三棱锥的体积，正确运用线面平行的判定定理是关键．