Question

20．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，（x＞1）}\\{（4-\frac{a}{2}）x+5，（x≤1）}\end{array}\right.$满足对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （4，+∞）
• B． [6，8）
• C． （6，8）
• D． （1，8）

Answer 1

分析 由任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，得到函数f（x）单调递增，从而列出方程组，解方程组则可得答案．

解答 解：∵对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，
∴函数f（x）单调递增，
又函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，（x＞1）}\\{（4-\frac{a}{2}）x+5，（x≤1）}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{4-\frac{a}{2}＞0}\\{4-\frac{a}{2}+5≤a}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＜8}\\{a≥6}\end{array}\right.$．
∴实数a的取值范围是：6≤a＜8．
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性，本题的关键是列出方程组从而求解，是中档题．