Question

5．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-mlnx+（m-1）x，m∈R．
（1）若函数f（x）在x=2处有极值，求m的值；
（2）当m≤0时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）求证：当m=-2时，对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$+1＞0．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，通过f′（2）=0，解出m的值即可；
（2）先求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间；
（3）将m=-2代入，问题转化为证明：f（x₂）+x₂＞f（x₁）+x₁，通过讨论函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）f′（x）=x-$\frac{m}{x}$+m-1，
∵函数f（x）在x=2处有极值，
∴f′（2）=2-$\frac{m}{2}$+m-1=0，解得：m=-2，
经检验，m=-2符合题意，
∴m=-2；
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=x-$\frac{m}{x}$+m-1=$\frac{（x-1）（x+m）}{x}$，
①当m=0时，f′（x）=x-1，∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数； 
②当0＜-m＜1即-1＜m＜0时，x∈（0，-m）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（-m，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数； 
③当-m=1，即m=-1时，
f′（x）=$\frac{{（x-1）}^{2}}{x}$≥0，f（x）在（0，+∞）上为增函数； 
④当-m＞1，即m＜-1时，
x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（1，-m）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
x∈（-m，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数
综上所述：当m=0时，f（x）的单调递增区间是（1，+∞），
单调递减区间是（0，1），
当-1＜m＜0时，f（x）的单调递增区间是（0，-m），（1，+∞），
单调递减区间是（-m，1）
当m=-1时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞），无单调递减区间
当m＜-1时，f（x）的单调递增区间是（0，1），（-m，+∞），
单调递减区间是（1，-m）；
（3）不妨设0＜x₁＜x₂，要证明$\frac{f{（x}_{2}）-f{（x}_{1}）}{{x}_{2}{-x}_{1}}$+1＞0，
即证：f（x₂）+x₂＞f（x₁）+x₁，
当m=-2时，函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2lnx-3x，
设h（x）=f（x）+x=$\frac{1}{2}$x²+2lnx-2x，
则h′（x）=x+$\frac{2}{x}$-2=$\frac{{（x-1）}^{2}+1}{x}$＞0，
所以h（x）在（0，+∞）上是增函数
故对任意的0＜x₁＜x₂，有h（x₂）＞h（x₁），
所以f（x₂）+x₂＞f（x₁）+x₁，即$\frac{f{（x}_{2}）-f{（x}_{1}）}{{x}_{2}{-x}_{1}}$+1＞0，命题得证．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，不等式的证明，本题有一定的难度．