Question

16．等差数列{a_n}中，$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，且其前n项和S_n有最小值，以下命题正确的是①③⑤．
①公差d＞0； ②{a_n}为递减数列； ③S₁，S₂…S₁₉都小于零，S₂₀，S₂₁…都大于零；④n=19时，S_n最小；⑤n=10时，S_n最小．

Answer 1

分析 由题意可得数列的前10项为负数，从第11项开始为正数，且a₁₀+a₁₁＞0，由等差数列的求和公式和性质逐个选项验证可得．

解答 解：∵等差数列{a_n}前n项和S_n有最小值，∴公差d＞0，①正确，②错误；
又∵$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，∴a₁₀＜0，a₁₁＞0，且a₁₀+a₁₁＞0，
∴等差数列{a_n}的前10项为负数，从第11项开始为正数，
∴当n=10时，S_n最小，④错误，⑤正确；
∴S₁₉=$\frac{19（{a}_{1}+{a}_{19}）}{2}$=$\frac{19×2{a}_{10}}{2}$=19a₁₀＜0，
S₂₀=$\frac{20（{a}_{1}+{a}_{20}）}{2}$=10（a₁₀+a₁₁）＞0，
∴S₁，S₂…S₁₉都小于零，S₂₀，S₂₁…都大于零，③正确．
故答案为：①③⑤

点评 本题考查等差数列的求和公式和性质，判定出数列项的正负变化是解决问题的关键，属中档题．